Kalkulus 2 : INTEGRAL TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

Assalamu'alaikum wr. wb.

    Untuk Blog kali ini saya akan membahas materi Kalkulus 2 untuk memenuhi nilai tugas E-Learning Pertemuan 6.

PERTEMUAN 6

INTEGRAL TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

A.     Tujuan Pembelajaran

Setelah selesai mempelajari materi pada pertemuan ini mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan integral tentu fungsi trigonometri. 

B.      Uraian Materi

1.      Batas Integral Tentu Fungsi Trigonometri

Integral tentu fungsi trigonometri adalah integral dengan fungsi integran berupa fungsi trigonometri dan memiliki batas interval tertutup pada variabel integrasinya. Karena fungsi integran berbentuk trigonometri, maka batas variabel integrasinya berupa besar sudut dan umumnya dinyatakan dengan 𝜋 radian, dengan 𝜋 = 1800 (Ratnadewi; dkk, 2016). Radian merupakan satuan sudut suatu bidang yang dilambangkan dengan “rad”. Hubungan antara sudut dan radian dapat ditulis sebagai berikut.

1 rad = 57, 2957...0

1^o = 0, 0174...0

Satu radian didefinisikan sebagai besar sudut pusat yang panjang busurnya sama dengan jari-jari, seperti sketsa pada Gambar berikut

Untuk menemukan hubungan antara derajat dan radian, dapat digunakan konsep perbandingan sudut pusat dan panjang busur sebagai berikut.

Misalkan:

Sudut pusat : 1 rad

Panjang busur : r

Keliling : 2𝜋r 

Maka dengan menggunakan konsep perbandingan sudut pusat dan panjang busur diperoleh:

Jika dihubungkan dengan fungsi trigonometri, maka pembagian sudut istimewa dengan besaran derajat dan radian menurut masing-masing kuadran diuraikan sebagai berikut.

a. Kuadran I

                                    

                                    b. Kuadran II

                                    

                                    c. Kuadran III

                                    d. Kuadran IV

2.      Aturan Dasar Integral Tentu Fungsi Trigonometri

Secara umum, jika f(x) merupakan sebuah fungsi dalam bentuk trigonometri, maka integral tentu dari fungsi f(x) dengan batas atas b dan batas bawah a dapat diselesaikan dengan rumus dasar integral tentu sebagai berikut.

Keterangan:

f(x) : fungsi integran (berbentuk trigonometri)

dx : variabel integrasi (berupa sudut dalam 𝜋 radian)

F(x) : hasil integrasi

a : batas bawah variabel integrasi (𝜋 radian)

b : batas atas variabel integrasi (𝜋 radian)

F(a) : hasil integrasi untuk batas atas

F(b) : hasil integrasi untuk batas bawah 

Karena merupakan integral dari fungsi trigonometri, maka acuannya adalah rumus dasar integral trigonometri berikut.

a.    ∫𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐

b.    ∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐

c.    ∫−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐

d.    ∫−𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐

e.    ∫𝑠𝑒𝑐 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑐

f.     ∫𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑥+𝑐

g.    ∫𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥+𝑐

h.    ∫𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥𝑑𝑥 = −cosec𝑥+𝑐 

Untuk mengaplikasikan rumus tersebut pada persoalan integral, harus diperhatikan sifat-sifat integral tentu berikut.

Soal :

Jawaban :