Kalkulus 2 : INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

Assalamu'alaikum wr. wb.

    Untuk Blog kali ini saya akan membahas materi Kalkulus 2 untuk memenuhi nilai tugas E-Learning Pertemuan 3.

PERTEMUAN 3

INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

    A. Tujuan Pembelajaran

Setelah selesai mempelajari materi pada pertemuan ini mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan integral tak tentu fungsi trigonometri.

    B. Uraian Materi

Sama seperti integral pada umumnya, integral fungsi trigonometri secara garis besar dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu integral tak tentu fungsi trigonometri dan integral tentu fungsi trigonometri. Pada bab ini akan dibahas mengenai integral tak tentu dari fungsi trigonometri.

1.       Definisi Fungsi Trigonometri

Sebelum memahami integral tak tentu fungsi trigonometri, terlebih dulu harus diketahui bahwa trigonometri berasal dari kata Yunani, yaitu trigonon : tiga sudut, dan metron : mengukur. Sehingga secara istilah, trigonometri diartikan sebagai sebuah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan tiga sudut segitiga siku-siku. Dari definisi tersebut, maka dapat dijelaskan bahwa fungsi trigonometri merupakan fungsi yang didalamnya terdapat hubungan panjang dan tiga sudut segitiga siku-siku. Fungsi dasar trigonometri dikelompokkan menjadi 6 jenis, yaitu:

Penjelasan mengenai fungsi dasar tersebut, khususnya sin x, cos x, dan tan x dapat dilihat dari konsep secara umum dari suatu segitiga siku-siku yang terdiri dari 3 sisi yang meliputi: hypotenuse, opposite, dan adjacent. Sketsanya seperti pada Gambar berikut. Untuk mempermudah pemahaman tentang keenam fungsi trigonometri, umumnya istilah hypotenuse, opposite, dan adjacent diganti dengan sisi miring (mi), sisi depan (de), dan sisi samping (sam).

Sudut-sudut pada fungsi trigonometri dibagi menjadi 4 kuadran, yaitu:

a.       Kuadran I

Daerah kuadaran I meliputi daerah yang dibatasi sudut 0 0 ≤ x ≤ 900 . Pada kuadran ini sin x dan cos x bernilai positif, sehingga mengakibatkan tan x, sec x, cosec, dan cot x juga bernilai positif. Kuadran I berlaku sifat-sifat berikut.

1.       sin (90^o – x) = cos x

2.       cos (90^o – x) = sin x

3.       tan (90^o – x) = cot x

4.       sec (90^o – x) = cosec x

5.       cosec (90^o – x) = sec x

6.       cot (90^o – x) = tan x 

b.       Kuadran II

            Daerah kuadaran II meliputi daerah yang dibatasi sudut 900 ≤ x ≤ 1800 . Pada kuadran ini sin x bernilai positif, sedangkan cos x bernilai negatif, sehingga mengakibatkan cosec x bernilai positif, tetapi tan x, sec x, dan cot x juga bernilai negatif. Kuadran II berlaku sifat-sifat berikut.

1.       sin (90^o + x) = cos x

2.       cos (90^o + x) = -sin x

3.       tan (90^o + x) = -cot x

4.       sec (90^o + x) = -cosec x

5.       cosec (90^o + x) = sec x

6.       cot (90^o + x) = - tan x

7.       sin (180^o - x) = sin x

8.       cos (180^o - x) = -cos x

9.       tan (180^o - x) = -tan x

10.   sec (180^o - x) = -sec x

11.   cosec (180^o - x) = cosec x

12.   cot (180^o - x) = -cot x

c.       Kuadran III

             Daerah kuadaran III meliputi daerah yang dibatasi sudut 1800 ≤ x ≤ 2700. Pada kuadran ini sin x dan cos x bernilai negatif, sehingga mengakibatkan cosec x dan sec x bernilai negatif, sedangkan tan x dan cot x bernilai positif. Kuadran III berlaku sifat-sifat berikut.

1.       sin (180^o + x) = -sin x

2.       cos (180^o + x) = -cos x

3.       tan (180^o + x) = tan x

4.       sec (180^o + x) = -sec x

5.       cosec (180^o + x) = -cosec x

6.       cot (180^o + x) = cot x

7.       sin (270^o - x) = -cos x

8.       cos (270^o - x) = -sin x

9.       tan (270^o - x) = cot x

10.   sec (270^o - x) = -cosec x

11.   cosec (270^o - x) = -sec x

12.   cot (270^o - x) = tan x 

d.       Kuadran IV

Daerah kuadaran IV meliputi daerah yang dibatasi sudut 2700 ≤ x ≤ 3600 . Pada kuadran ini sin x bernilai negatif, sedangkan cos x bernilai positif, sehingga mengakibatkan sec x bernilai positif, sedangkan cosec x, tan x, dan cot x bernilai negatif. Kuadran III berlaku sifat-sifat berikut.

1.       sin (270^o + x) = -cos x

2.       cos (270^o + x) = sin x

3.       tan (270^o + x) = -cot x

4.       sec (270^o + x) = cosec x

5.       cosec (270^o + x) = -sec x

6.       cot (270^o + x) = -tan x

7.       sin (360^o - x) = -sin x

8.       cos (360^o - x) = cos x

9.       tan (360^o - x) = -tan x

10.   sec (360^o - x) = sec x

11.   cosec (360^o - x) = -cosec x

12.   cot (360^o - x) = -cot x

2.       Definisi Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Integral tak tentu fungsi trigonometri merupakan “bentuk integral yang integralnya berbentuk fungsi trigonometri dan memiliki variabel integrasi yang tak terbatas” (Edutafsi.com, 2018). Karena variabel integrasinya tidak memiliki batasan, maka hasil dari integral tak tentu fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelesaian umum yang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah dengan tetapan integrasi yang disimbolkan dengan huruf c. Karena fungsi integran (fungsi yang diintegralkan) berbentuk fungsi trigonometri, maka penyelesaiannyapun melibatkan beberapa konsep atau identitas trigonometri.

3.               Rumus Dasar Fungsi Trigonometri

Seperti yang sudah dibahas pada bab sebelumnya, bahwa integral adalah operasi balikan dari turunan, maka fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan berpatokan pada hasil dari turunan beberapa fungsi trigonometri. Untuk mempermudah pemahaman tentang rumus dasar fungsi trigonometri, perhatikan Gambar berikut

 

Dari Gambar diatas dapat dilihat bahwa aturan dasar integral tak tentu untuk untuk fungsi trigonometri adalah:

1.       ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐

2.       ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐

3.       ∫ −sin 𝑥 𝑑𝑥 = cos 𝑥 + 𝑐

4.       ∫ −cos 𝑥 𝑑𝑥 = − sin 𝑥 + c

Selain rumus dasar tersebut, berdasarkan turunan fungsi trigonometri, berlaku rumus dasar sebagai berikut.

1.       ∫ sec 2𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐

2.       ∫ cosec 2𝑥 𝑑𝑥 = −cot 𝑥 + 𝑐

3.       ∫ sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝑐

4.       ∫ cosec 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = −cosec 𝑥 + c

4.       Aturan Kelinieran Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Sama seperti pada integral tak tentu fungsi aljabar, pada integral tak tentu fungsi trigonometri juga berlaku aturan kelinieran. Misalkan diketahui dua fungsi, yaitu fungsi f dan g, dimana kedua fungsi tersebut mempunyai integral, maka berdasarkan aturan kelinearan berlaku sifat sebagai berikut.

a.       ∫ 𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑘 = 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛

b.       ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

c.       ∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑x

Soal : 

Jawaban :