Kalkulus 2 : ATURAN SUBSTITUSI INTEGRAL TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

Assalamu'alaikum wr. wb.

    Untuk Blog kali ini saya akan membahas materi Kalkulus 2 untuk memenuhi nilai tugas E-Learning Pertemuan 8.

PERTEMUAN 8

ATURAN SUBSTITUSI INTEGRAL TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

A.     Tujuan Pembelajaran

Setelah selesai mempelajari materi pada pertemuan ini mahasiswa mampu menyelesaiakan aturan dasar integral tak tentu metode substitusi ke dalam fungsi Trigonometri.

B.      Uraian Materi

1.      Definisi Integral Tentu Fungsi Trigonometri

    Integral tentu fungsi trigonometri merupakan integral tentu dengan interval tertutup [a,b] pada fungsi trigonometri. Penggunaan aturan substitusi integral tentu pada fungsi trigonometri memiliki perbedaan dengan penerapannya pada fungsi aljabar. Perbedaannya terletak pada:

1.1.          Integral tentu fungsi trigonometri umumnya menggunakan interval 𝜋 radian, sehingga untuk menentukan penyelesaiannya harus mengubah interval tersebut menjadi interval baru dengan bentuk bilangan real;

1.2.          Pangkat dari fungsi integran pada aturan substitusi integral tentu fungsi trigonometri umumnya lebih dari 1, negatif, atau pecahan;

1.3.          Pada beberapa kasus fungsi integran yang memiliki sudut ≠ x, seperti 2x, 3x, 4x, dst, maka harus sudutnya harus diturunkan menggunakan aturan rantai. Sebagai acuan dasar, misalkan fungsi g mempunyai turunan yang kontinu pada [a,b], dan misalkan fungsi f kontinu pada daerah hasil (range) dari g, maka suatu integral tentu fungsi trigonometri harus dapat diuraikan seperti berikut.

dengan u = g(x)

Berdasarkan rumus di atas dan rumus dasar integral tentu, maka misalkan F merupakan turunan dari f berlaku:

Berdasarkan teorema di atas pada integral tak tentu, maka untuk integral tentu juga berlaku :

 Karena merupakan integral dari fungsi trigonometri, maka acuannya adalah rumus dasar integral trigonometri berikut.

 

Jika diketahui fungsi y = sin ax, dengan a ≠ 0, maka dengan memisalkan u sebagai ax, turunannya dapat ditulis:

2. Langkah-langkah Menyelesaikan Integral Tentu Fungsi Trigonometri Dengan Aturan Substitusi

Untuk memudahkan penyelesaian persoalan integral tentu dengan aturan substitusi, perlu diperhatikan langkah-langkah berikut.

a.              Pastikan fungsi integran berbentuk dasar ∫[g(x)]^rg′(x)dx. Jika belum, ubahlah menjadi bentuk tersebut

b.              Misalkan bilangan pokok dari fungsi integran yang berpangkat lebih dari 1, negatif, atau pecahan menjadi fungsi u

c.              Turunkan fungsi u sehingga diperoleh du = .... dx

d.              Nyatakan nilai dari dx agar sesuai dengan soal yang diberikan, kemudian substitusikan pemisalan tadi ke integral semula

e.              Tentukan interval baru dengan mensubstitusikan interval [a,b] ke dalam fungsi u, sehingga interval 𝜋 radian menjadi bilangan real

Soal :

Jawaban :