Belajar Kalkulus || Alviandi Blog: Kalkulus 2 : ATURAN DASAR INTEGRAL

Assalamualaikum wr. wb.

Untuk Blog kali ini saya akan membahas materi Kalkulus 2 untuk memenuhi nilai tugas E-Learning Pertemuan 1.

PERTEMUAN 1

ATURAN DASAR INTEGRAL

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah selesai mempelajari materi pada pertemuan ini mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan dasar integral tak tentu.

B. Uraian Materi

1. Definisi Integral

Integral merupakan materi lanjutan dari materi Turunan (Derivative) pada Kalkulus I. Sketsa perbedaan dari turunan dan integral dapat dilihat pada Gambar

ada dua hal yang dilakukan dalam integral sehingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Secara garis besar, integral dibagi menjadi dua jenis, yaitu:

1. Integral sebagai invers/kebalikan dari turunan disebut sebagai integral tak tentu. Integral ini sering disebut integral yang tak terbatas, karena memiliki interval -∞ sampai ∞ (-∞, ∞);

2. Integral sebagai limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu disebut integral tentu. Integral ini juga disebut integral terbatas, karena memiliki interval tertutup antara a sampai b [a,b], dengan a, b ∈ R.

2. Integral Tak Tentu

Misalkan diketahui suatu fungsi F(x) yang merupakan fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x), maka integral tak tentu merupakan himpunan anti turunan F(x) dari f(x) pada interval (-∞, ∞) yang dinotasikan:

Keterangan:

∫ : simbol integral

f(x) : fungsi integran

dx : variabel integrasi

F(x) : hasil integrasi

c : tetapan integrasi

Bentuk ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + 𝒄 disebut Integral tak tentu. Kata “tak tentu” menenkankan bahwa hasil dari integral merupakan fungsi “generik” atau sering disebut “konstan”. Jika integral suatu fungsi ditulis sebagai ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, maka 𝑑𝑥 menyatakan variabel integrasinya. Hal ini menunjukkan bahwa fungsi integran merupakan fungsi dalam variabel x. Namun sebenarnya, variabel integrasi tidak harus menggunakan abjad x saja, tetapi bisa memakai variabel lain, seperti ∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦, ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, atau ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧. Pada penulisan tersebut yang perlu diperhatikan adalah variabel integrasi biasanya diadaptasi dengan variabel fungsi integrannya.

Contoh: Misal diketahui turunan dari beberapa fungsi sebagai berikut.

1. Turunan dari fungsi aljabar y = x3 adalah y’ = 3x2

2. Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 8 adalah y’ = 3x2

3. Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 17 adalah y’ = 3x2

4. Turunan dari fungsi aljabar y = x3 – 6 adalah y’ = 3x2

Seperti yang sudah dipelajari dalam materi turunan, variabel dalam suatu fungsi mengalami penurunan pangkat. Berdasarkan contoh tersebut, diketahui bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama (y’ = 3x2 ) dari fungsi aljabar yang berbeda.

3. Aturan Dasar Integral Tak Tentu

Untuk menyelesaikan persoalan tentang integral tak tentu, terdapat aturan-aturan dasar yang harus dipahami. Aturan-aturan tersebut yaitu:

a. Aturan fungsi aljabar

1. Jika n adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka berdasarkan aturan fungsi aljabar, integral tak tentu dari x n ditulis:

2. Dari poin 1. Jika n = 0, maka berdasarkan aturan fungsi aljabar, integral tak tentu dari x 0 ditulis:

3. Jika n = -1, aturan no. 1 dan 2 tidak berlaku untuk karena ketika n = -1 maka penyebut fungsi dari integran akan menjadi nol. Dalam ilmu matematika, jika suatu pecahan yang pembilangnya angka selain nol dengan penyebut nol, maka bilangan tersebut tidak dapat didefinisikan. Namun berdasarkan aturan fungsi aljabar, integral tak tentu dari x −1 ditulis:

b. Aturan Kelinearan

Misalkan diketahui dua fungsi, yaitu fungsi f dan g, dimana kedua fungsi tersebut mempunyai integral, maka berdasarkan aturan kelinearan berlaku sifat sebagai berikut.

1. ∫ 𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑘 = 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛, Sifat ini menunjukkan bahwa koefisien pada fungsi integran dapat diubah menjadi koefisien dari integral.

2. ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥, Sifat ini menunjukkan bahwa untuk menghitung fungsi integran yang berbentuk penjumlahan dapat diuraikan menjadi penjumlahan integral dari masing-masing fungsinya.

3. ∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 Seperti sifat kedua, sifat ini menunjukkan bahwa untuk menghitung fungsi integran yang berbentuk pengurangan dapat diuraikan menjadi pengurangan integral dari masing-masing fungsinya