Kalkulus 2 : ATURAN SUBSTITUSI INTEGRAL TENTU FUNGSI EKSPONENSIAL

Assalamu'alaikum wr. wb.

    Untuk Blog kali ini saya akan membahas materi Kalkulus 2 untuk memenuhi nilai tugas E-Learning Pertemuan 10.

PERTEMUAN 10

ATURAN SUBSTITUSI INTEGRAL TENTU FUNGSI EKSPONENSIAL 

A.      Tujuan Pembelajaran

Setelah selesai mempelajari materi pada pertemuan ini mahasiswa mampu menyelesaikan integral tentu fungsi eksponensial dengan aturan substitusi.

B.      Uraian Materi

1.      Hubungan Fungsi Eksponensial dengan Logaritma Natural

Fungsi eksponensial adalah invers dari fungsi logaritma natural (ln), yang dapat ditulis:

ln merupakan suatu konsep pengembangan dari aturan logaritma. Logaritma dengan basis angka 10 disebut logaritma umum, yang disimbolkan dengan 10log x atau log10 b, namun umunya ditulis log x. Misalkan diketahui b > 0 dan b ≠ 1, maka nilai positif dari x dapat ditulis logb x dengan f(x) = log_b x dapat disebut fungsi logaritma dengan basis b. 

Dari definisi tersebut, fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai kebalikan (invers) dari fungsi eksponensial. Perhatikan teorema berikut :

Misal:

Untuk ln 1 = 0, maka e0 = 1

Untuk ln e = 1, maka e1 = e

Untuk ln   = -1, maka e-1 =

Untuk ln e² = 2, maka e² = 2

Sehingga dari permisalan tersebut dapat diperoleh teorema bahwa:

y = ln x jika dan hanya jika x = e^y

2.      Sifat-sifat fungsi eksponensial

Dengan adanya teorema pada poin 1, maka fungsi eksponensial juga memiliki sifat yang perlu diketahui untuk mendukung perhitungan integral tentu fungsi eksponensial, sifat-sifat tersebut adalah:

a.      e^{ln x} = x, untuk semua x > 0, x ∈ R

b.      ln (ex) = x, x ∈ R

3.      Integral Tentu dan Aturan Substitusi Fungsi Eksponensial

Sama dengan integral tentu fungsi lainnya, integral tentu fungsi eksponensial merupakan aplikasi dari integral tentu sebagai berikut.

Untuk setiap batas integral tertentu, integral fungsi eksponensial harus diselesaikan dengan menggunakan metode substitusi. Misalkan fungsi g mempunyai turunan yang kontinu pada [a,b], dan misalkan fungsi f kontinu pada daerah hasil (range) dari g, maka :

dengan u = g(x)

Berdasarkan rumus di atas dan rumus dasar integral tentu, maka misalkan F merupakan turunan dari f berlaku :

Berdasarkan teorema di atas pada integral tak tentu, maka untuk integral tentu juga berlaku :

Karena merupakan integral dari fungsi eksponenesial, maka acuannya adalah rumus dasar integral eksponensial sebagai berikut.

4.      Langkah-langkah Menyelesaikan Integral Tentu Fungsi Eksponensial Dengan Aturan Substitusi

Untuk memudahkan penyelesaian persoalan integral tentu fungsi eksponensial dengan aturan substitusi, perlu diperhatikan langkah-langkah berikut.

a.              Pastikan fungsi integran berbentuk dasar ∫[g(x)]rg′(x)dx. Jika belum, ubahlah menjadi bentuk tersebut

b.              Misalkan pangkat dari fungsi integran menjadi fungsi u

c.              Turunkan fungsi u sehingga diperoleh du = .... dx

d.              Nyatakan nilai dari dx agar sesuai dengan soal yang diberikan, kemudian substitusikan pemisalan tadi ke integral semula

e.              Tentukan interval baru dengan mensubstitusikan interval [a,b] ke dalam fungsi u

Soal : 

Jawaban :