Kalkulus 2 : VOLUME BIDANG PUTAR DENGAN METODE KULIT TABUNG

Assalamu'alaikum wr. wb.

    Untuk Blog kali ini saya akan membahas materi Kalkulus 2 untuk memenuhi nilai tugas E-Learning Pertemuan 17.

PERTEMUAN KE 17

VOLUME BIDANG PUTAR DENGAN METODE KULIT TABUNG

A. Tujuan Pembelajaran

Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai pada pertemuan ini adalah:

1. Mahasiswa mampu menggambar sketsa bidang putar terhadap sumbu x dan sumbu y;

2. Mahasiswa dapat menyelesaikan volume benda putar dengan integral tentu dengan metode kulit tabung.

B. Uraian Materi

1. Definisi Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung merupakan salah satu teknik integral tentu yang digunakan untuk menentukan volume bidang putar yang berbentuk kulit tabung. Berikut gambar konsep metode kulit tabung.

    Pada Gambar diatas tampak bahwa terdapat persegi panjang dengan panjang = t dan lebar = l, sedangkan p merupakan jarak antara sumbu putaran dengan pusat persegi panjang. Ketika persegi panjang tersebut diputar 360⁰ menurut sumbu putaran (misal sumbu x), maka akan dihasilkan kulit tabung dengan ketebalan l. Untuk menentukan volume kulit tabung tersebut, perhatikan 2 tabung (kulit dalam dan luar) yang tampak pada Gambar diatas  Jari-jari tabung yang lebih besar merupakan jari-jari dari kulit luar tabung, sedangkan jari-jari yang lebih kecil merupakan jari-jari dari kulit dalam tabung. Sehingga didapat p sebagai rata-rata dari jari-jari kulit tabung, jari-jari luarnya = p + l/2, jari-jari dalamnya = p – l/2. Berdasarkan konsep ini, maka didapatkan volume kulit tabung sebagai berikut.

2. Menentukan Volume Bidang Putar Dengan Metode Kulit Tabung

    Dengan menggunakan konsep rumus yang didapat pada poin 1, maka dapat ditentukan rumus untuk menentukan bidang putar terhadap sumbu x berbentuk kulit tabung sebagai berikut.

    Apabila diperhatikan, lebar dari persegi panjang pada Gambar diatas adalah Δy, sehingga jika persegi panjang diputar terhadap garis yang sejajar dengan sumbu x, maka akan menghasilkan kulit tabung dengan volume sebagai berikut.

ΔV = 2[p(y).t(y)]. Δy

Dengan menggunakan konsep integral tentu, maka rumus tersebut dapat ditulis menjadi:

Jika sumbu putarnya adalah sumbu y, maka digunakan rumus:

Soal : 

Jawaban :

Kalkulus 2 : VOLUME BIDANG PUTAR DENGAN METODE CINCIN

Assalamu'alaikum wr. wb.

    Untuk Blog kali ini saya akan membahas materi Kalkulus 2 untuk memenuhi nilai tugas E-Learning Pertemuan 18.

PERTEMUAN KE 18

VOLUME BIDANG PUTAR DENGAN METODE CINCIN

A. Tujuan Pembelajaran

Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai pada pertemuan ini adalah:

1. Mahasiswa mampu menggambar sketsa bidang putar terhadap sumbu x dan sumbu y;

2. Mahasiswa dapat menyelesaikan volume benda putar dengan integral tertentu dengan metode cincin.

B. Uraian Materi

1. Definisi Metode Cincin

    Metode cincin adalah salah satu metode integral tentu yang digunakan untuk menentukan volume bidang yang memiliki lubang. Metode cincin disebut juga washer method, yang merupakan konsep turunan dari metode cakram. Metode cakram maupun metode cincin, sama-sama memakai semua elemen volume yang terbuat dari irisan-irisan tabung yang tipis. Irisan-irisan tersebut berbentuk menyerupai cakram ketika bidang diibaratkan benda padat padatnya, sedangkan berbentuk seperti cincin ketika irisan-irisan tersebut memiliki lubang sepanjang sumbu yang tentukan (sumbu x atau y) (Thomas, weir, & Hass, 2017).

    Cincin dalam metode ini dibentuk oleh hasil putaran sebuah partisi persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu, dimana sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang, seperti pada sketsa berikut.

Dari Gambar diatas, jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan t merupakan ketebalan cincin, maka volumenya diuraikan sebagai berikut.

𝑽=𝝅(𝑹^𝟐−𝒓^𝟐)

    Untuk mengetahui bagaimana konsep ini diterapkan untuk menentukan volume bidang putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar R(x) dan jari-jari dalam r(x) pada Gambar berikut.

    Pada Gambar diatas, tampak bahwa terdapat sebuah bidang datar yang diputar mengelilingi sumbu x sehingga membentuk bidang putar yang memiliki lubang dengan partisi persegi panjang dengan ukuran antara R(x) sampai r(x). Bedasarkan rumus yang diperoleh dari gambar, maka rumus volume bidang putar diuraikan sebagai berikut.

2. Menentukan Volume Bidang Putar Dengan Metode Cincin

    Persoalan volume bidang putar yang diselesaikan dengan metode cincin umumnya terdiri dari daerah yang dibatasi oleh dua fungsi yang berbeda. Namun, langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan persoalan dengan metode cincin tidak jauh beda dengan metode cakram dan metode kulit tabung, yaitu sebelum menentukan volume dari bidang putar, harus terlebih dulu mampu membuat sketsa dari bidang yang diketahui.

a. Metode Cincin pada Bidang Putar Terhadap Sumbu x

    Misalkan diketahui suatu bidang B yang merupakan daerah yang dibatasi oleh dua kurva yaitu y1 = f(x), y2 = g(x), x = a, dan x = b, dengan y1 ≥ y2, Dimana y1 merupakan kurva yang membatasi bagian atas bidang B, sedangkan y2 merupakan kurva yang membatasi bagian bawah B. Jika bidang B diputar 3600 terhadap sumbu x, maka lintasan dari putaran tersebut akan membentuk benda seperti gambar berikut.

Untuk menghitung volume bidang B yang diputar terhadap sumbu x dirumuskan dengan persamaan:

b. Metode Cincin pada Bidang Putar Terhadap Sumbu x

    Jika terdapat kasus bidang D yang merupakan daerah yang dibatasi oleh dua kurva yaitu x1 = f(y), x2 = g(y), y = c, dan y = d, dengan x1 ≥ x2, Dimana x1 merupakan kurva yang membatasi bagian atas bidang D, sedangkan x2 merupakan kurva yang membatasi bagian bawah D. Jika bidang D diputar 3600 terhadap sumbu y, maka lintasan dari putaran tersebut akan membentuk benda seperti gambar berikut.

Untuk menghitung volume bidang D yang diputar terhadap sumbu y dirumuskan dengan persamaan:

Soal :

Jawaban : 

Kalkulus 2 : LUAS DAERAH YANG DIBATASI GARIS-KURVA DAN DUA KURVA

Assalamu'alaikum wr. wb.

    Untuk Blog kali ini saya akan membahas materi Kalkulus 2 untuk memenuhi nilai tugas E-Learning Pertemuan 15.

PERTEMUAN 15

LUAS DAERAH YANG DIBATASI GARIS-KURVA DAN DUA KURVA

A.   Tujuan Pembelajaran

Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai pada pertemuan ini adalah:

1. Mahasiswa mampu menentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis dan kurva;

2. Mahasiswa mampu menentukan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva. 

B.   Uraian Materi

1.    Daerah yang Dibatasi Oleh Garis-Kurva dan Dua Kurva

Untuk menentukan daerah yang dibatasi oleh garis dan kurva atau dua kurva harus terlebih dahulu mampu membuat sketsanya. Misalkan daerah yang dibatasi oleh garis dan kurva atau dua kurva tersebut dimisalkan S, maka luas daerah yang dicari merupakan luas S yang memiliki batas interval perpotongan antara fungsi y = f(x) dan fungsi y = g(x), dengan f(x) ≥ g(x). Namun jika pada daerah S dibatasi oleh garis x = a dan x = b, maka luas daerah yang dicari adalah luas S dengan batas interval tertutup [a,b], dengan a < b. Pada sketsa yang didapat, f(x) merupakan garis atau kurva di bagian atas dari daerah S, dan g(x) merupakan garis atau kurva di bagian bawah dari daerah S. Aturan untuk menentukan luas daerah S pada luas daerah yang dibatasi oleh garis-kurva maupun oleh dua kurva, memiliki konsep yang sama, yaitu dengan menggunakan aturan integral tentu. Misalkan diketahui suatu daerah yang dibatasi oleh dua kurva seperti pada Gambar berikut.

Maka menurut (Edwards & H., 2010), untuk menentukan luas daerahnya menggunakan konsep integral seperti pada Gambar berikut :

 

Sehingga, jika luas daerah yang dicari adalah R, maka luas R dapat dinyatakan dengan:

Rumus tersebut berlaku untuk luas daerah di atas sumbu x, jika luasannya disebelah kanan sumbu y, maka luas luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan :

2.    Langkah-langkah Menentukan Luas Daerah yang Dibatasi Garis-Kurva atau Dua Kurva

Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis-kurva atau dua kurva, perlu diperhatikan langkah-langkah berikut.

a.    Gambar sketsa dari soal yang diketahui

b.    Menentukan batas bawah dan atas integral dengan ketentuan jika belum diketahui interval tertutup [a,b], maka batas bawah dan batas atas integral dapat dilihat pada sketsa gambar atau dengan mencari akar-akar dari kedua persamaan tersebut. Jika diketahui y1 = f(x) dan y2 = g(x), akar-akar ditentukan dengan persamaan y1 = y2, sehingga didapat x = a sebagai batas bawah dan x = b sebagai batas atas, dengan (a< b).

c.     Hitung luas daerah yang dicari dengan menggunakan batas bawah dan batas atas integral dari langkah b.

Luas Daerah yang Dibatasi Sebuah Kurva

Luas suatu daerah yang dibatasi sebuah kurva dapat dicari menggunakan rumus integral. Pehatikan gambar luas daerah yang dibatasi sebuah kurva dan rumus integral untuk mencari luas daerah tersebut di bawah ini.

Selain rumus integral untuk mencari luas daerah yang dibatasi kurva yang telah diberikan di atas, terdapat juga aturan penggunaan rumus integral. Berikut ini adalah aturan penggunaan aturan integral dalam mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva.

Luas Daerah Diantara Dua Kurva

Pembahasan berikutnya adalah luas daerah yang dibatasi dua kurva. Cara menghitung luas daerah yang dibataasi dua kurva sama dengan cara menghitung luas daerah yang dibatasi sebuah kurva, pada pembahasan sebelumnya. Hanya saja, dalam mencari luas daerah yang dibatasi dua buah kurva, banyaknya fungsi yang terlibat ada dua, bahkan lebih.

Perhatikan gambar dan rumus untuk luas daerah yang dibatasi kurva f(x) dan g(x)

 

Sekian Materi Pertemuan 15

Semoga Bermanfaat.

Kalkulus 2 : VOLUME BIDANG PUTAR DENGAN METODE CAKRAM

Assalamu'alaikum wr. wb.

    Untuk Blog kali ini saya akan membahas materi Kalkulus 2 untuk memenuhi nilai tugas E-Learning Pertemuan 16.

PERTEMUAN KE 16

VOLUME BIDANG PUTAR DENGAN METODE CAKRAM

   A. Tujuan Pembelajaran

         Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai pada pertemuan ini adalah:

1.       Mahasiswa mampu menggambar sketsa bidang putar terhadap sumbu x dan sumbu y;

2.       Mahasiswa dapat menyelesaikan volume benda putar dengan integral tentu dengan metode cakram.

. B. Uraian Materi

              Aplikasi dari integral tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan. Salah satunya adalah untuk menentukan volume benda yang berbentuk bangun ruang yang memililki dua sisi yang sama, seperti corong minyak, pil, botol, piston, atau as sepeda. Dalam kaitannya dengan integral, benda-benda tersebut sering disebut benda putar (bidang putar). Ada beberapa metode untuk menentukan volume bidang putar ini, diantaranya adalah metode cakram, metode kulit tabung, dan metode cincin. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai metode cakram..

1.       Definisi Metode Cakram Metode cakram merupakan metode mencari volume bidang putar mengasumsikan bahwa setiap bidang putar dapat dibagi menjadi beberapa partisi berbentuk cakram (perhatikan Gambar 16.1). Metode ini menggunakan konsep dasar dari rumus volume tabung (karena cakram berbentuk tabung), yaitu : 

Volume = 𝝅. Luas Alas . Tinggi

2.       Metode Cakram Pada Bidang Putar Terhadap Sumbu X Misalkan diketahui sebuah bidang A yang merupakan daerah yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, dan x = b, kemudian bidang A diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 . Maka lintasan yang terbentuk dari perputaran tersebut membentuk bangun ruang. Contoh sketsa seperti berikut.

       Pada Gambar diatas tampak bahwa bidang setengah lingkaran dan segitiga siku-siku diputar 3600 mengelilingi sumbu x. Lintasan perputaran setengah lingkaran membentuk bola pejal, sedangkan lintasan segitiga siku-siku membentuk kerucut. Inilah yang disebut bidang putar terhadap sumbu x. Untuk menghitung volume bidang A yang diputar terhadap sumbu x dirumuskan dengan persamaan metode cakram berikut.

3.       Metode Cakram Pada Bidang Putar Terhadap Sumbu Y Misalkan diketahui sebuah bidang C yang merupakan daerah yang dibatasi oleh x = f(y), y = c, dan y = b, kemudian bidang C diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 . Maka lintasan yang terbentuk dari perputaran tersebut membentuk bangun ruang. Contoh sketsa gambarnya seperti berikut.

Untuk menghitung volume bidang C yang diputar terhadap sumbu y dirumuskan dengan persamaan metode cakram berikut.

Kalkulus 2 : LUAS DAERAH YANG DIBATASI SUMBU X DAN Y

Assalamu'alaikum wr. wb.

    Untuk Blog kali ini saya akan membahas materi Kalkulus 2 untuk memenuhi nilai tugas E-Learning Pertemuan 14.

PERTEMUAN 14

LUAS DAERAH YANG DIBATASI SUMBU X DAN Y

A.   Tujuan Pembelajaran

Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai pada pertemuan ini adalah:

1. Mahasiswa mampu menggambar grafik dari persamaan linier dan kuadrat;

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan dan menghitung luas daerah yang dibatasi garis dan kurva menggunakan integral tentu. 

B.   Uraian Materi

1.    Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu x

Berdasarkan Aturan Riemann, luas suatu daerah didefinisikan sebagai jumlah nilai limit yang dibatasi oleh interval tertutup [a,b] yang dapat dinyatakan dengan integral tentu. Penentuan luas daerah, yang dibatasi pada bagian bawah oleh garis pada sumbu x, pada bagian atas oleh kurva 𝑦=(𝑥), dan berada antara 𝑥=𝑎 dan 𝑥=𝑏, maka luas daerah tersebut adalah

Jika digambarkan dengan sketsa maka daerah yang dibatasi oleh sebarang fungsi y = f(x), garis x = a, x = b, dan sumbu x adalah seperti pada Gambar berikut.

2.    Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu x

Jika suatu daerah terletak di bawah sumbu x, maka untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x, garis x = a, dan garis x = b dengan kurva y f(x) adalah

Apabila luas daerah berada di bawah sumbu x, maka integral tertentu bernilai negatif. Namun karena luas daerah tidak mungkin bernilai bilangan negatif maka nilai integral tersebut diberi harga mutlak. Sehingga luas luas daerah yang bernilai negatif tersebut dinyatakan dalam bentuk

Jika digambarkan dengan sketsa maka daerah yang dibatasi oleh sebarang fungsi y = f(x), garis x = a, x = b, dan sumbu x adalah seperti pada Gambar berikut.

3.    Menentukan Luas Daerah Sumbu y

Pada bab ini, selain membahas luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x, juga dibahas cara untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu y. Misalkan diketahui suatu daerah R yang disketsakan oleh Gambar dibawah, dibatasi oleh sumbu y, kurva 𝑥=(𝑦) , serta garis 𝑦=𝑐 dan 𝑦=𝑑. Maka luas daerah R dapat ditentukan dengan menggunakan rumus integral tentu sebagai berikut.

Jika digambarkan dengan sketsa maka daerah yang dibatasi oleh sebarang fungsi y = f(x), garis x = c, x = d, dan sumbu x adalah seperti pada Gambar berikut.

Soal :

Jawaban :