A. Tujuan Pembelajaran
Setelah selesai
mempelajari materi pada pertemuan ini mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan
integral tentu fungsi aljabar.
B. Uraian Materi
Gambaran umum
integral tentu adalah alat utama dalam kalkulus untuk menentukan dan menghitung
banyak jumlah penting di berbagai bidang, seperti luas area, volume, dan
rata-rata (Hass, Weir, George B. Thomas, & Hell, 2016). Gagasan di balik
integral adalah bahwa kita dapat secara efektif menghitung luas daerah suatu
kurva dengan memecahnya menjadi potongan-potongan kecil dan kemudian
menjumlahkan masing-masing bagian dari potongan-potongan tersebut. Penjumlahan dengan
teknik seperti ini dikenal dengan istilah penjumlahan Riemann, dimana
penjumlahan tersebut merupakan konsep dasar dari integral tentu.
1.
Definisi Penjumlahan Riemann
George Friedrich Bernhard Riemann, atau yang lebih dikenal dengan nama Riemann merupakan ilmuwan berkebangsaan Jerman yang lahir di Breselenz, Kerajaan Hanover, Jerman. Riemann berhasil menemukan sebuah cara untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan menggunakan metode yang disebut penjumlahan Riemann. Penjumlahan Riemann ini dijadikan dasar untuk menentukan konsep dari integral tentu, baik untuk integral tentu fungsi aljabar, trigonometri, maupun ekponensial. Konsep ini dirumuskan dengan notasi sebagai berikut.
Keterangan:
f(x) : fungsi yang diketahui
n : banyak sub interval (banyaknya persegi panjang yang terbentuk)
∆xi : lebar interval ke-i
xi : titik sub interval ke-i
Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva pada interval tertentu, kita dapat menggunakan aturan ”Penjumlahan Riemann”. Misal diketahui fungsi f yang terdefinisi dalam interval tertutup [a,b], kemudian interval [a,b] dibagi menjadi n sub-interval ujung kanan yang melewati titik-titik a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 = b, Δxi = xi - xi-1, dan n = 4, maka untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x0 = a dan x4 = b diuraikan melalui sketsa berikut.
Menurut penjumlahan Riemann, maka untuk luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x0 = a, x4 = b, dan sumbu x dapat ditentukan nilai pendekatan jumlah 4 luas persegi panjang yang terbentuk, dengan panjang persegi panjang adalah f(xi) dan lebar persegi panjang adalah Δxi.
2.
Definisi Integral Tentu
Integral tentu atau sering disebut definite integral
merupakan limit dari penjumlahan Riemann sebagai perumuman dari konsep luas
suatu daerah. Misalkan f merupakan fungsi yang terdefinisi dalam interval
tertutup [a,b] yang dapat dilakukan penjumlahan Riemann, maka secara geometri
fungsi tersebut dapat menyatakan jumlah luas persegi panjang. Jika P merupakan
partisi yang lebarnya dinyatakan oleh Δxi = xi - xi-1, sedangkan 𝑥̅i titik sampel pada interval ke-i dan |P| merupakan norma P
yang menyatakan panjang interval bagian terpanjang dari partisi P, maka limit
penjumlahan Riemann untuk n→∞ atau |P|→0 dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai
berikut.
Berdasarkan rumus di atas, maka dapat disimpulkan
bahwa andaikan f kontinu pada interval [a,b] dan andaikan F merupakan sembarang
anti turunan dari f, maka berlaku integral tentu sebagai berikut.
Keterangan:
f(x) : fungsi integran
dx : variabel integrasi
F(x) : hasil integrasi
a : batas bawah variabel integrasi
b : batas atas variabel integrasi
F(a) : hasil integrasi untuk batas atas
F(b) : hasil integrasi untuk batas bawah
Untuk mengaplikasikan rumus tersebut pada persoalan
integral, harus diperhatikan sifat-sifat integral tentu berikut.
a.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
= 0
b.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
c.
∫ 𝑘. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
= 𝑘
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
, c : koefisien
d.
∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
= 𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)
+ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
e.
∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
= 𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)
− ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
f.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
, a<b<c
Soal :
Jawaban :
Tidak ada komentar:
Posting Komentar